Анна Меликян родилась в Баку, выросла в Ереване, в возрасте 17 лет переехала в Москву. В середине 1990-х годов устроилась работать режиссёром на телевидении. В 2002 году. окончила режиссерский факультет ВГИКа (мастерская С. Соловьева, В. Рубинчика). В 2004 году Анна Меликян по собственному сценарию поставила дебютный полнометражный фильм «Марс». Премьера фильма состоялась на Берлинском кинофестивале. Картина была отмечена Специальным призом продюсеров на Открытом кинофестивале стран СНГ и Балтии «Киношок» и удостоилась специального упоминания жюри на фестивале Go East.
Мировое признание пришло к Меликян после выхода картины «Русалка» (2007), за работу над которым Анна Меликян получила множество наград, включая приз ФИПРЕССИ Берлинале, приз за режиссуру Сандэнса, Гран-при Фестиваля Американского киноинститута и главный приз кинофестиваля в Софии. Фильм был номинирован на премию «Оскар» от России. После успеха «Русалки» Variety включил Меликян в десятку самых перспективных режиссёров мира.
В 2005 году она основала кинокомпанию «Магнум». Среди продюсерских проектов Меликян такие картины, как «Домовой» (2008), «Невеста любой ценой» (2009), «Свадьба по обмену» (2011). В 2013 году на «Кинотавре» состоялась премьера картины «Звезда». Фильм получил приз за режиссуру, а актриса Северия Янушаускайте — награду за лучшую женскую роль. По итогам года «Звезда» была номинирована на премию «Золотой орел» в трех категориях, включая лучший фильм года. Эту награду два года спустя получил альманах «Про любовь». В списке наград картины оказались также Гран-при и Приз прокатчиков «Кинотавра», приз за режиссуру на кинофестивале в Ирландии и премия мэра Москвы за создание экранного образа столицы.
Анна Меликян вошла в состав жюри основного конкурса 40-го Московского Международного кинофестиваля.